1. Étudier la courbe \(G:\theta\mapsto G_\theta\), où \(G_\theta\) est le barycentre de \(A\) et \(B\) avec les poids respectifs \((\cos^2(\theta),\sin^2(\theta))\)
2. Soit \(I:[\theta_A,\theta_B]\) un intervalle sur lequel \(G\) est injective et telle que \(G_{\theta_A}=A\) et \(G_{\theta_B}=B\). Montrer que la longueur \(G\lvert_I\) ne dépend pas du choix de \(I\) et calculer-la

1° : réécriture
$$\begin{align} G(\theta)&=\cos^2(\theta)A+\sin^2(\theta)B\\ &=A+\sin^2(\theta)\overrightarrow{AB}\end{align}$$

En extraire les caractéristiques diverses
$$\begin{align}\text{image : }&[AB]\\ \text{période : }&\pi\\ \text{dérivée : }&G^\prime(\theta)=\underbrace{2\cos(\theta)\sin(\theta)}_{\sin(2\theta)}\overrightarrow{AB}\\ \text{s}^\prime\text{annule pour : }&0\in\frac\pi2{\Bbb Z}\end{align}$$

2° : calcul de la longueur via une intégrale

\(I\) est de la forme \([k\pi,k\pi+\frac\pi2]\) avec \(k\in{\Bbb Z}\)
$$\begin{align}\mathcal L(G_I)&=\left(\int^{k\pi+\pi/2}_{k\pi}\sin(2\theta)\,d\theta\right)\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\\ &=\left(\int^{\pi/2}_0\sin(2\theta)\,d\theta\right)\lVert\overrightarrow{AB}\rVert&&\text{(période)}\\ &=\left[\frac{-\cos(2\pi)}2\right]^{\pi/2}_0\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\\ &=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\end{align}$$

On considère la courbe paramétrée \(\mathcal C:\theta\mapsto\binom{a+r\cos\theta}{b+r\sin\theta}\)
Montrer qu'il s'agit d'une paramétrisation régulière du cercle \(C(O,r)\) avec centre \(O(a,b)\)

Paramétrisation d'un cercle : on passe en complexe pour la distance
$$\begin{align}\mathcal C(\theta)&=\binom{a+r\cos\theta}{b+r\sin\theta}\\ &=\underbrace{a+ib}+re^{i\theta}\end{align}$$
Donc \(d(O,\mathcal C(\theta)=\lvert re^{i\theta}\rvert=r\)

Régularité : la dérivée ne s'annule jamais

$$\mathcal C^\prime(\theta)=\binom{-r\sin\theta}{r\cos\theta}=ire^{i\theta}\ne0$$

On considère la courbe paramétrée \(\mathcal C:\theta\mapsto\binom{a+r\cos\theta}{b+r\sin\theta}\)
Il s'agit d'une paramétrisation régulière du cercle \(C(O,r)\) avec centre \(O(a,b)\)
Sachant que \(\mathcal C^\prime(\theta)=ire^{i\theta}\), donner les conditions sous lesquelles cette paramétrisation est "par la longueur d'arc"

Par déf

On doit avoir : $$\lvert \mathcal C^\prime(\theta)\rvert=1\implies r=1$$

On considère la courbe paramétrée \(\mathcal C:\theta\mapsto\binom{a+r\cos\theta}{b+r\sin\theta}\)
Il s'agit d'une paramétrisation régulière du cercle \(C(O,r)\) avec centre \(O(a,b)\)
Sachant que \(\mathcal C^\prime(\theta)=ire^{i\theta}\), et que cette paramétrisation est "par la longueur d'arc" si et seulement si \(r=1\), donner une paramétrisation par la longueur d'arc de \(C(O,r)\)

Normalisation

On pose \(\mathcal C_O:=C(\frac\theta r)\)
Donc $$\lvert\mathcal C^\prime_O(\theta)\rvert=\lvert ie^{i\theta/r}\rvert=1$$

On considère la courbe paramétrée \(\mathcal C:\theta\mapsto\binom{a+r\cos\theta}{b+r\sin\theta}\)
Il s'agit d'une paramétrisation régulière du cercle \(C(O,r)\) avec centre \(O(a,b)\)
Sachant que \(\mathcal C^\prime(\theta)=ire^{i\theta}\), donner une paramétrisation de la tangente au point \(P(c,d)\in C(O,r)\)

Formule de l'équation paramétrique de la tangente
L'équation paramétrique de la tangente en \(\mathcal C(\theta)\) est : $$M(t)=\mathcal C(\theta)+t\mathcal C^\prime(\theta)\qquad(\exists t\in{\Bbb R})$$

La tangente et le rayon sont perpendiculaires
\((O\mathcal C(\theta))\) est dirigée par \(\binom{r\cos\theta}{r\sin\theta}\) et la tangente \(T\) est dirigée par \(\binom{-r\sin\theta}{r\cos\theta}\)
Donc \((O\mathcal C(\theta))\perp T\)

Puisque \((c,d)\) appartient à la fois à la courbe et à la tangente, il remplit les deux équations paramétriques
Soit \(M\) la paramétrisation de \(T\)
Si \((c,d)\in C(O,r)\), alors $$\begin{cases} c=a+r\cos\theta\\ d=b+r\sin\theta\end{cases}\qquad(\exists\theta)$$
Et $$M(t)=\begin{cases} a+r\cos\theta-tr\sin\theta\\ b+r\sin\theta+tr\cos\theta\end{cases}$$

Simplifier l'équation de la tangente à l'aide d'égalités obtenues dans l'équation de la courbe

On a alors \(\cos\theta=\frac{c-a}r\) et \(\sin\theta=\frac{d-b}r\)
Donc $$M(t)=\begin{cases} c-t(d-b)\\ d+t(c-a)\end{cases}$$

Soit \(\mathcal C\) le cercle unité dans le plan. Soient \(P(-1,0)\) et \(\mathcal D\) la droite d'équation \(x=0\)
Montrer que pour tout point \(M\in\mathcal D\), la droite \((PM)\) recoupe \(\mathcal C\) en exactement un point \(Q\ne P\)

Schéma

Seul cas où c'est pas possible est la tangente

La seule droite \(\Delta\ni P\) qui ne coupe pas \(\mathcal C\) en un autre point est la tangente \(\Delta_0\) en \(P\), d'équation \(x=-1\). Elle ne coupe pas non plus \(\mathcal D\)
Toute autre droite passant par \(P\) coupe \(\mathcal C\) en un unique point \(Q\ne P\) et \(\mathcal D\) en un unique point \(M\)

Soit \(\mathcal C\) le cercle unité dans le plan. Soient \(P(-1,0)\) et \(\mathcal D\) la droite d'équation \(x=0\)
On sait que que pour tout point \(M\in\mathcal D\), la droite \((PM)\) recoupe \(\mathcal C\) en exactement un point \(Q\ne P\) et que l'application \(M\mapsto Q\) est une bijection de \(\mathcal D\) sur \(\mathcal C^*=\mathcal C\setminus\{P\}\)
En déduire que $$\rho:t\mapsto\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)$$ établit une bijection de \({\Bbb R}\) sur \(\mathcal C^*\)
En donner la réciproque

Coordonnées des points (car \(M\) est sur \((OJ)\) et \(Q\) est sur le cercle unité)
On a \(M\binom0t\) et \(Q\binom xy\) avec \(x^2+y^2=1\)

Vecteurs proportionnels car ils sont colinéaires (car \(P,M,Q\) alignés)
De plus \(\overrightarrow{PM}\) et \(\overrightarrow{PQ}\) sont proportionnels $$\binom1t\quad\binom{x+1}y$$ donc \(y=(x+1)t\)

Produit en croix pour remplacer \(y\) \(\to\) on obtient une équation où on cherche \(x\)
Donc $$x^2+y^2=x^2+t^2(x+1)^2=1\iff x^2(1+t^2)+2t^2x+(t^2-1)=0$$

Résolution de l'équation du second degré
$$\Delta=4t^4-4(t^2-1)(t^2+1)=4\implies x=\frac{-2t^2\pm2}{2(1+t^2)}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\quad\text{ ou }\quad\underbrace{-1}_{\text{exclu car \(\Rightarrow\) }Q=P }$$

En déduire \(y\) via le produit en croix précédent
Et donc $$y=(x+1)t=\frac{2t}{1+t^2}$$

C'est l'une des formules de la tangente de l'arc moitié \(\to\) c'est une bijection et sa réciproque est connue

Sa réciproque est $$t=\tan\left(\frac\theta2\right)\quad\text{ avec }\quad\begin{cases} x=\cos\theta\\ y=\sin\theta\end{cases}$$

Soit \(\mathcal R=(O,\vec u,\vec v)\) un repère orthogonal
Déterminer un intervalle maximal d'injectivité \(I=[\theta_{min},\theta_{max}[\) de la courbe paramétrée \(\gamma:\theta\mapsto(\cos\theta,\sin\theta)_\mathcal R\)

Valeurs max et min de \(\theta\) jsp

$$I=[0,2\pi[$$

Soit \(\mathcal R=(O,\vec u,\vec v)\) un repère orthogonal
L'interval maximal d'injectivité \(I=[\theta_{min},\theta_{max}[\) est \(I=[0,2\pi[\)
Soit \(\Gamma\) la courbe géométrique de \(\gamma\lvert_I\)
On note \(r_1=\lVert\vec u\rVert\) et \(r_2=\lVert\vec v\rVert\)
Montrer les inégalités $$2\pi\frac{r_1+r_2}{2}\leqslant\lvert\Gamma\rvert\leqslant\sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2}2}$$

Définition de \(\lvert\Gamma\rvert\)
On a $$\lvert \Gamma\rvert=\int^{2\pi}_0\underbrace{\sqrt{r_1^2\sin^2(\theta)+r^2_2\cos^2(\theta)}}_{\lVert\gamma^\prime\rVert}\,d\theta$$

Majorer via la concavité de \(\sqrt\cdot\) \(\to\) bouger les constantes
$$\begin{align}&\geqslant\int^{2\pi}_0\left(\sqrt{r_1^2}\sin^2(\theta)+\sqrt{r_2^2}(1-\sin^2(\theta))\right)\,d\theta\quad\text{ car }\; \sqrt{\cdot}\text{ est convave}\\ &\geqslant r_1\int^{2\pi}_0\sin^2(\theta)\,d\theta+r_2\int^{2\pi}_0\cos^2(\theta)\,d\theta\end{align}$$

Résoudre via les formules de linéarisation
$$=\pi(r_1+r_2)\quad\text{ car }\;\cos^2(\theta)=\frac{1+\cos(2\theta)}2\quad\text{ et }\quad\sin^2(\theta)=\frac{1-\cos(2\theta)}2$$

De plus, \(\lvert\Gamma\rvert\) a deux définitions \(\to\) go faire la moyenne
De plus, $$\begin{align}\lvert\Gamma\rvert&=\int^{2\pi}_0\sqrt{r^2_1\sin^2\theta+r_2^2\cos^2\theta}\,d\theta\\ &=\int^{2\pi}_0\sqrt{r^2_1\cos^2\theta+r^2_2\sin^2\theta}\,d\theta\\ &=\frac12\int^{2\pi}_0\left(\sqrt{r^2_1\sin^2\theta+r_2^2\cos^2\theta}+\sqrt{r^2_1\cos^2\theta+r^2_2\sin^2\theta}\right)\,d\theta\end{align}$$

Majorer via concavité de \(\sqrt\cdot\) \(\to\) intégrale d'une fonction constante

$$\begin{align}&\leqslant\int^{2\pi}_0\sqrt{r_1^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+r^2_2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\over2}\,d\theta\\ &=2\pi\sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2}2}\end{align}$$

(Formules de linéarisation)